Particules entrelacées et fonctions de corrélation dans le diamant aztèque

Details

Supervisors

Ruelle, Philippe

Faculty

Faculté des sciences

Degree label

Master [120] en sciences physiques, à finalité approfondie

Abstract

Le diamant aztèque est un modèle de pavages aléatoires défini sur un sous-domaine particulier du plan. Dans la limite d'échelle, ce modèle présente une séparation de phase spatiale entre des régions ordonnées et désordonnées suscitant un intérêt aussi bien physique que mathématique. Ce travail se concentre principalement sur deux aspects du diamant aztèque. Le premier étant le lien entre ce modèle et la théorie des matrices aléatoires. Ceci ce fait en introduisant une description du diamant en termes de particules entrelacées. En particulier, on explore en détail la relation entre le diamant aztèque et l'Ensemble Gaussien Unitaire. D'abord d'un point de vue théorique, en rappelant les résultats importants derrière cette relation. Ensuite du point de vue numérique, au moyen de simulation sur une collection de diamants de taille finie. Le deuxième aspect étudié dans ce travail concerne les fonctions de corrélation à deux points. On commence cette étude par une révision de la situation sur le réseau carré, bien connue du point de vue théorique, pour ensuite passer à des simulations numériques sur le diamant aztèque. The Aztec diamond is a random tiling model defined on a specific sub-domain of the plan. In the scaling limit, this model presents a spatial phase transition between ordered and disordered regions arousing both physical and mathematical interests. This work mainly focuses on two aspects of the Aztec diamond. The first being the link between this model and the theory of random matrices. This is done by introducing a description of the diamond in terms of interlaced particles. In particular, we explore in detail the relation between the Aztec diamond and the Gaussian Unitary Ensemble. First from a theoretical point of view, by recalling the important results behind this relation. Then from a numerical point of view, by means of simulation on a collection of finite size diamonds. The second aspect studied in this work concerns the two-point correlation functions. We begin this study with a review of the situation on the square lattice, well known from the theoretical point of view, and then move on to numerical simulations on the Aztec diamond.