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Théorie de l'homotopie rationnelle appliquée aux espaces de configuration

Haya Enriquez, Rodrigue

(2022)

Details

Supervisors

Horel, Geoffroy ; Lambrechts, Pascal

Faculty

Faculté des sciences

Degree label

Master [120] en sciences mathématiques, à finalité approfondie

Abstract

(fr) Ce mémoire vise à étudier un papier récent de N. Idrissi, "The Lambrechts-Stanley model of configuration spaces". Au préalable, afin de comprendre le contexte général, nous donnons une introduction à la théorie de l'homotopie rationnelle, avec en point d'orgue le théorème de Sullivan qui établit une correspondance univoque entre une donnée topologique (type d'homotopie rationnelle) et une donnée algébrique (modèle de Sullivan). Suite à cela, nous étudions le papier en question qui donne une preuve de la validité du modèle réel de Lambrechts-Stanley pour des espaces de configuration de variétés lisses, compactes, sans bord et simplement connexes en mettant en avant les arguments et concepts clés. En supplément, nous montrons la formalité réelle des espaces de configuration des sphères de dimensions impaires au moins 3 et donnons une borne supérieure sur les nombres de Betti des espaces de configuration des variétés lisses, compactes, sans bord et simplement connexes. (en) This master thesis aims at studying a recent paper by N. Idrissi, "The Lambrechts-Stanley model of configuration spaces". First, in order to understand the general context, we give an introduction to rational homotopy theory, culminating in Sullivan's theorem which establishes a one-to-one correspondence between a topological datum (rational homotopy type) and an algebraic datum (Sullivan's model). Following this, we study the paper in question which gives a proof of the validity of the real Lambrechts-Stanley model for configuration spaces of smooth, closed and simply connected manifolds by highlighting key arguments and concepts. In addition, we show the real formality of configuration spaces of spheres of odd dimensions at least 3 and give an upper bound on the Betti numbers of configuration spaces of smooth, closed and simply connected manifolds.