Fonctions de corrélation dans le modèle de dimères deux-périodique

Details

Supervisors

Ruelle, Philippe

Faculty

Faculté des sciences

Degree label

Master [120] en sciences physiques, à finalité approfondie

Abstract

Le modèle de dimères est un modèle de physique statistique sur réseau. Chaque dimère recouvre deux sites adjacents du réseau, et chaque site ne peut être lié qu'à un seul dimère. Ceux-ci n'interagissent entre eux que via la condition que le réseau entier doit être recouvert. Nous l'étudions ici en deux dimensions sur un réseau quadratique : dans ce cas le modèle est exactement soluble, tout comme le modèle d'Ising à champ nul. La particularité de ce travail consiste en le choix d'un type de poids de Boltzmann appelés deux-périodiques. A l'aide du formalisme de Kasteleyn, nous essayons d'en calculer la fonction de partition à taille finie, sans succès. Nous calculons ensuite les fonctions de corrélation entre deux dimères quelconques, nonobstant les effets de bord, pour les poids uniformes et deux-périodiques. Dans le cas deux-périodique, nos résultats ne sont valables que pour des positions relatives privilégiées entre dimères : à proximité soit de la diagonale, soit d'un axe principal. Nous prenons ensuite la limite d'échelle du modèle pour étudier son comportement critique, en essayant d'identifier la théorie des champs qui en décrit le comportement à grande distance. Le point critique du modèle correspond aux poids uniformes, et il est déjà fait état dans la littérature que celui-ci peut être décrit par une théorie des champs conforme logarithmique de charge centrale c = -2. L'extension aux poids deux-périodiques correspond à une perturbation massive de la théorie libre. Nous souhaitons exprimer ces corrélations en termes d'une extension massive de la théorie des champs candidate. Mais nos résultats sont assez surprenants et il n'est pas clair à ce stade comment ils peuvent décrits par la théorie des champs. The dimer model is a statistical physics model defined on a lattice. Each dimer covers two adjacent sites on the lattice, and a given site cannot be covered by more than one dimer. Those dimers interact only insofar as we require that the whole lattice be covered by dimers. In this work, we study the dimer model in two dimensions on the quadratic lattice : it is exactly solvable, like the zero field Ising model. The peculiarity of this work is in our choice of statistical weights : we use a pair of weights called two-periodic. Using Kasteleyn's mathematical formalism, we try to compute the two-periodic partition function at finite size. We then compute the correlation function on the infinite lattice between any two dimers, for both the uniform weights and the two-periodic weights. In the case of the two-periodic weights, our results are restricted to specific relative positions of the dimers, namely near the diagonal or one of the principal axes. Afterwards we take the scaling limit of our correlation functions to study the critical behaviour of the model, and try to identify the field theory that can describe it. The critical point of the model corresponds to uniform statistical weights, and the litterature already states that it can be described by a free logarithmic conformal field theory of central charge c = -2. The extension of the model to two-periodic weights corresponds to a massive perturbation of the free theory. We aim to interpret our results in terms of the fields of the massive extension of the candidate c = -2 theory. But our results are fairly surprising and it is not clear at this stage how they could be described by the field theory.