Modélisation de la mortalité à l'aide de modèles de régression gaussiens et de l'analyse en composantes principales fonctionnelle

Details

Supervisors

Hainaut, Donatien

Faculty

Faculté des sciences

Degree label

Master [120] en sciences actuarielles, à finalité spécialisée

Abstract

Au cours des siècles derniers et encore aujourd’hui, l’espérance de vie continue à augmenter. En effet, au début du XXème siècle la durée de vie était en moyenne de 45 ans pour aujourd’hui atteindre 79 ans pour les hommes et 85 ans pour les femmes en France. Cette tendance s’explique par de meilleures conditions de vie et des progrès de la science. L’allongement de la durée de vie à long terme entraîne un nombre important de défis et de problèmes à différents niveaux sociaux. Ceci conduit à un risque sur le plan économique pour les entreprises, les gouvernements et la population. Ainsi les retraites sont le domaine le plus exposé à ce risque de vieillissement de la population. Les assureurs ont donc dû redéfinir leurs prestations et réévaluer leurs tables de mortalité servant de base de calcul des rentes afin de se protéger de cette augmentation de dépenses. La modélisation de l’évolution de la mortalité est donc d’une importance considérable pour bien gérer ce risque de longévité et de mortalité qui est prépondérant aujourd’hui. L’idée de ce mémoire est de reprendre le travail de Ruhao Wu [1] : Gaussian Process and Functional Data Methods for Mortality Modelling et de l’appliquer sur un jeu de données différent et de confirmer l’efficacité ou non de l’utilisation de différentes méthodes statistiques pour estimer les taux de mortalité future. Parmi les différentes méthodes statistiques étudiées dans ce mémoire, nous nous intéresserons principalement aux processus gaussiens et à l’analyse en composantes principales fonctionnelle univariée et multivariée. La première idée est d’utiliser les champs gaussiens pour la régression des taux de mortalités en fonction de l’âge et de l’année. Cette méthode prend en compte une fonction de la moyenne pondérée et une fonction de covariance. Les fonctions de covariance utilisées seront diverses et nous utiliserons des noyaux classiques mais aussi le noyau à mélange spectral. Dans une seconde partie, nous utiliserons d’abord l’analyse en composantes principales fonctionnelle univariée. Ce qui nous permettra d’introduire les données fonctionnelles. Ensuite, nous nous intéresserons à la modélisation simultanée de plusieurs sous-groupes à l’intérieur d’une même population à l’aide de l’analyse en composantes principales fonctionnelle multivariée. Nous traitons les taux de mortalité des sous-populations (ex : homme et femme du même pays) au sein d’une grande population comme un ensemble de données fonctionnelles à plusieurs niveaux. L’analyse en composantes principales fonctionnelles multivariée sera utilisée pour extraire les informations de base des données fonctionnelles et les analyser à l’échelle de plusieurs populations, de sorte que le modèle intègre à la fois des informations globales de la population et des informations spécifiques des sous-populations. Dans la troisième et dernière partie, nous proposerons une application financière des différents modèles présentés auparavant. Cette application se fera d’abord par le calcul de statistiques démographiques comme l’espérance de vie à la naissance ou résiduelle. Puis par la suite nous calculerons le prix d’une rente viagère en fonction de nos différents modèles. Over the past centuries and even today, life expectancy continues to increase. At the beginning of the XXth century the lifespan was on average 45 years for reaching 79 years for men and 85 years for women in France today. This trend is explained by better living conditions and advances in science. Long-term life extension brings a number of challenges and problems at different social levels. This leads to an economic risk for businesses, governments and the public. Pensions are the amost exposed to this risk of population aging. Therefore insurers had to redefine their benefits and reassess their mortality tables serving as a basis calculation of pensions in order to protect against this increase in expenses. Modeling the evolution of mortality is therefore of considerable importance in order to properly manage this risk of longevity and mortality, which are preponderant today. The idea of ​​this work is to consider the work of Ruhao Wu [1]: Gaussian Process and Functional Data Methods for Mortality Modeling and apply it to a different dataset and confirm the effectiveness of using different statistical methods to estimate future mortality rates. Among the different statistical methods studied in this dissertation, we will be mainly interested in Gaussian processes and univariate and multivariate functional principal component analysis. The first idea is to use Gaussian fields for the regression of death rates as a function of age and year. This method takes into account a function of the weighted mean and a function of covariance. The covariance functions used will be diverse and we will use classical kernels but also the spectral mixture kernel. In the second part, we will first use the univariate functional principal component analysis. This will allow us to enter the functional data. Next, we will be interested in the simultaneous modeling of several subgroups within the same population using principal component analysis. We consider the death rates of subpopulations (eg male and female from the same country) within a large population as a functional multi-level dataset. Multivariate functional principal component analysis will be used to extract basic information from the functional data and analyze them at the scale of several populations, so that the model integrates both general information of the population and specific information about subpopulations. In the third and last part, we will propose a financial application of the different models presented previously. This application will be done first by calculating demographic statistics such as life expectancy at birth or residual. Then subsequently we will calculate the price of a life annuity according to our different models.