Fluctuations et courbes arctiques dans le modèle à 6 vertex

Details

Supervisors

Ruelle, Philippe

Faculty

Faculté des sciences

Degree label

Master [120] en sciences physiques

Abstract

En physique statistique, les phénomènes arctiques se caractérisent par une transition de phase spatiale au sein d’un même domaine et pour des paramètres du modèle laissés inchangés: alors que les régions attenantes à la frontière du domaine présentent un degré élevé d’organisation et sont, pour cette raison, appelées des zones gelées, la région intérieure, elle, demeure désordonnée. Ces zones gelées apparaissent en raison de la persistance de l'influence des conditions aux bords lorsque l’on s’éloigne de ceux-ci sur une distance macroscopique. Plus la taille du domaine est grande et plus l’interface entre la région intérieure désordonnée et les zones gelées est nette. Dans la limite où la taille devient infinie, cette interface est appelée la courbe arctique du modèle. Dans ce mémoire, nous nous intéressons plus particulièrement aux phénomènes arctiques observés dans le diamant aztèque et le modèle à 6 vertex avec conditions aux bords « domain wall » partielles. Pour certaines valeurs des poids de Boltzmann attribués aux 6 types de vertex, ce dernier modèle exhibe un phénomène arctique. Nous avons considéré des poids de Boltzmann symétriques sous renversement des flèches et donnés par a=1, b=1 et c=√2, correspondant au point fermion libre du modèle. Pour ces poids de Boltzmann, nous avons réussi à calculer analytiquement l’expression de la courbe arctique, dont l’expression demeurait jusqu’à ce jour inconnue. Pour ce faire, nous avons utilisé la méthode de la tangente. Des simulations numériques, réalisées sur base d’un algorithme de Métropolis, viennent confirmer ce résultat. Le diamant aztèque est un modèle de pavage pouvant être vu comme un cas particulier du modèle à 6 vertex avec conditions aux bords « domain wall ». Nous nous sommes intéressés au cas où la probabilité est uniforme. Dans ce cas, la courbe arctique est un cercle. Chaque configuration d’un diamant peut être mise en bijection avec un ensemble de chemins non intersectants. En particulier, le chemin le plus externe converge vers une des portions du cercle arctique. Sur base de la connaissance de la densité des dimères, nous avons conjecturé l’expression des trajectoires déterministes de tous les autres chemins dans la limite d’échelle. Ce nouveau résultat est appuyé par des simulations numériques réalisées au moyen de l’algorithme de shuffling. Si dans la limite de taille infinie, les trajectoires des chemins sont déterministes, en revanche à une échelle plus locale les chemins fluctuent. Il a été prouvé que le chemin le plus externe convergeait vers le processus d’Airy dont la distribution de probabilité est celle de Tracy-Widom. Cette dernière régit également les fluctuations de la plus grande valeur propre des matrices aléatoires de l’ensemble gaussien unitaire. Nous nous sommes intéressés aux distributions régissant les fluctuations des quelques chemins en-dessous du chemin le plus externe, pour lesquels aucun résultat théorique n’est à ce jour connu. Nous avons montré sur base d’une analyse numérique que les fluctuations des 2ème, 3ème,… chemins les plus externes semblent être régies par les mêmes distributions que celles associées aux 2ème, 3ème,… plus grandes valeurs propres des matrices aléatoires de l’ensemble gaussien unitaire. In statistical physics, arctic phenomena refer to spatial phase separations inside a same domain and for fixed model parameters: while the border regions are highly ordered and therefore called frozen regions, the interior region remains disordered. These frozen regions appear due to the persistence of the influence of the boundary conditions when one wanders far away from the boundaries. The bigger the size of the domain, the sharper the separation between the frozen regions and the disordered one. In the limit of infinite size, this separation is called the arctic curve of the model. In this master’s thesis, we focus on arctic phenomena observed in the Aztec diamond and the 6 vertex model with partial domain wall boundary conditions. For some values of the Boltzmann weights, the latter model exhibits an arctic phenomenon. We consider Boltzmann weights invariant under the reversal of arrows and given by a=1, b=1 et c=√2, corresponding to the free fermion point. We succeed in computing the arctic curve, whose analytic expression was up to now unknown. This has been achieved using the tangent method. Numerical simulations, based on a Metropolis algorithm, confirm this result. The Aztec diamond is a tiling model which can be seen as a special case of the 6 vertex model with domain wall boundary conditions. It also gives rise to an arctic phenomenon whose arctic curve is explicitly known. We consider the uniform case for which the arctic curve is a circle. Every configuration of an Aztec diamond can be put in bijection with a set of non-intersecting paths. In particular the outermost path converges to a part of the arctic circle. Thanks to the knowledge of the densities of dimers we conjecture the analytic expression of all the paths in the scaling limit. This new result is confirmed by numerical simulations obtained using the shuffling algorithm. While the paths are deterministic in the scaling limit, they fluctuate on smaller scales. It has been proved that the outermost path is described in a proper scaling limit by the Airy process whose probability distribution is the Tracy-Widom distribution. The latter also characterises the fluctuations of the largest eigenvalue of random matrices picked up from the gaussian unitary ensemble. So far no theoretical result has been established regarding the distributions of the fluctuations of the other paths. On the basis of numerical analysis, we have been able to identify the distributions associated with the 2nd, 3rd,… outermost paths. These distributions appear to be the same as the ones governing the 2nd, 3rd,… largest eigenvalues of random matrices belonging to the gaussian unitary ensemble.